\subsection{和圆有关的比例线段}\label{subsec:czjh2-7-12}

\begin{dingli}[相交弦定理]
    圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
\end{dingli}

已知：弦 $AB$ 和 $CD$ 相交于 $\yuan\,O$ 内一点 $P$（图 \ref{fig:czjh2-7-44}）。

求证：$PA \cdot PB = PC \cdot PD$。

\zhengming 连结 $AC$、$BD$。 由圆周角定理，得

$\begin{aligned}
    \left.\begin{aligned}
        \angle A = \angle D \\
        \angle C = \angle B
    \end{aligned}\right\}  &\tuichu \triangle PAC \xiangsi \triangle PDB \\
                           &\tuichu PA : PD = PC : PB \\
                           &\tuichu PA \cdot PB = PC \cdot PD \juhao
\end{aligned}$


由相交弦定理，可以得出下面的推论：

\begin{tuilun}[推论]
    如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是是它分直径所成的两条线段的比例中项。
\end{tuilun}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-44}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-44}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-45}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-45}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-46}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-46}
    \end{minipage}
\end{figure}


如图 \ref{fig:czjh2-7-45}， $CD$ 是弦， $AB$ 是直径，$CD \perp AB$，垂足是 $P$，则
$$ PC^2 = PA \cdot PB \juhao $$


\liti 已知：线段 $a$、$b$。

求作： 线段 $c$ ,使 $c^2 = ab$。

\zuofa 1. 作线段 $AP=a$ （图 \ref{fig:czjh2-7-46}）。

2. 延长 $AP$ 到点 $B$，使 $PB = b$。

3. 以 $AB$ 为直径作半圆。

4. 过点 $P$ 作 $PC \perp AB$，交平圆于点 $C$。

$PC$ 就是 $a$、$b$ 的比例中项。

证明略。


\begin{lianxi}

\xiaoti{如图， $AP = 3$ 厘米， $PB = 5$ 厘米， $CP = 2.5 $ 厘米。 求 $CD$。}

\xiaoti{如图， $O$ 是圆心， $OP \perp AB$， $AP = 4$ 厘米， $PD = 2 $ 厘米。 求 $OP$。}

\end{lianxi}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec12-lx1-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec12-lx1-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6.0cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-47}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-47}
    \end{minipage}
\end{figure}


\hspace{1em}

\begin{dingli}[切割线定理]
    从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
\end{dingli}


已知：点 $P$ 是 $\yuan\,O$ 外一点， $PT$ 是切线， $T$ 是切点，
$PA$ 是割线， 点 $A$、$B$ 是它与 $\yuan\,O$ 的交点（图 \ref{fig:czjh2-7-47}）。

求证: $PT^2 = PA \cdot PB$。

\zhengming 连结 $TA$、$TB$。

$\left.\begin{aligned}
    \angle BPT = \angle TPA \\
    \angle 1 = \angle A
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \triangle BPT \xiangsi \triangle TPA$

\quad $\tuichu PB : PT = PT : PA  \tuichu PT^2 = PA \cdot PB$。


\begin{tuilun}[推论]
    从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
\end{tuilun}

如图 \ref{fig:czjh2-7-47} 中， $PA \cdot PB = PC \cdot PD$。

\liti $\yuan\,O_1$、$\yuan\,O_2$、$\yuan\,O_3$、 … 都经过点 $A$ 和 $B$。
求证： 从线段 $AB$ 的延长线上任意一点向各圆引切线，切点在同一个圆上。

已知：如图 \ref{fig:czjh2-7-48}，$\yuan\,O_1$、$\yuan\,O_2$、$\yuan\,O_3$、… 都经过点 $A$ 和 $B$。
点 $P$ 是线段 $AB$ 的延长线上任意一点， 且 $PC$、$PD$、$PE$、… 分别与
$\yuan\,O_1$、$\yuan\,O_2$、$\yuan\,O_3$、 … 相切于点 $C$、$D$、$E$、…。

求证： $C$、$D$、$E$、… 在同一个圆上。

\zhengming $\because$ \quad $PC$ 是 $\yuan\,O_1$ 的切线，$PA$ 是 $\yuan\,O_1$ 的割线，

$\therefore$ \quad $PC^2 = PA \cdot PB$。

同理 $PD^2 = PA \cdot PB$， $PE^2 = PA \cdot PB$， …。

$\therefore$ \quad $PC = PD = PE = \cdots$。

$\therefore$ \quad $C$、$D$、$E$、… 都在以点 $P$ 为圆心， $PC$ 为半径的圆上。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-48}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-48}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec12-lx2-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{已知：$Rt \triangle ABC$ 的两条直角边 $AC$、$BC$ 的长分别为 3 cm、4 cm。
    以 $AC$ 为直径作圆与斜边 $AB$ 交于点 $D$。 求 $BD$ 的长。
}

\xiaoti{运用 “切割线定理”，作已知线段 $a$、$b$ 的比例中项。}

\end{lianxi}

